Фазовые портреты и неподвижные точки
         6. Типы неподвижных точек на плоскости

6.4. Центр

     Рассмотрим систему уравнений
  (7.19)
Для определения решения системы введём полярные координаты:
  (7.20)
Тогда с учетом (7.20) система уравнений (7.19) преобразуется к виду:
  (7.21)

Решение системы (7.21) можно представить следующим образом:
 
причём оно удовлетворяет свойству
 
т.е. фазовая траектория лежит на окружности радиуса , соответствующего определённым начальным условиям.

     На рисунке представлены фазовый портрет системы (7.19) и изменение во времени. Неподвижная точка является нейтрально устойчивой. Такой тип неподвижной точки на плоскости называется центром. Отметим, что центр - это единственная точка в линейных системах, которой соответствует периодическое движение (колебания) с постоянными периодом и амплитудой, зависящей от выбора начальных условий.