Фазовые портреты и неподвижные точки
         1. Фазовые портреты
1.1. Фазовые портреты в одномерном пространстве
     (на примере модели роста популяции)

     Рассмотрим случай n = 1. Уравнение
  (7.6)
моделирует рост популяции некоторого вида микроорганизмов. В рамках этой модели состояние вида в момент времени t задаётся количеством бактерий х. Мы можем изобразить состояние нашей модели x(t) в любой момент времени t точкой на фазовой прямой уравнения Со временем состояние системы изменяется, и изображающая это состояние точка движется по фазовой прямой со скоростью
f (x). Таким образом, динамика исследуемой системы представляется движением фазовой точки по фазовой прямой.

     Фазовый портрет фиксирует только направление скорости фазовой точки и, следовательно, отражает лишь качественную картину динамики. Такая качественная информация может оказаться полезной при построении моделей.

     Заметим, что для всех х > 0 и фазовый портрет (см. рисунок слева) показывает, что популяция растёт неограниченно. Однако среда, в которой живёт этот вид, обычно имеет ограничения и не может обеспечить ресурсами неограниченно растущую популяцию.
   

     Предположим, что окружающая среда может обеспечить существование популяции х. Как надо изменить уравнение (7.6) с учётом этого обстоятельства? Одна из возможностей - ввести на фазовом портрете (см. рисунок справа) точку такую, что популяции, большие хc, уменьшаются, меньшие хc - растут, а при достигается равновесие.

Данное поведение популяции описывается следующим уравнением:
 
которое при b = 0 сводится к предыдущему (7.6), а при - имеет неподвижную (стационарную) точку хc, ограничивающую рост популяции микроорганизмов.