Предельные циклы в нелинейных системах
  6. Колебания в моделях взаимодействия биологических видов по типу “хищник–жертва
6.2 Модель Холлинга-Тэннера

Модель Холлинга-Тэннера имеет вид:

(10.11)
(10.12)
где r, w, D, S, j  > 0.

Член (1  x1k1-1) x1 описывает скорость размножения жертв в отсутствие хищника, но с учётом конкуренции при ограниченных ресурсах питания; член wx1x2(x1)-1 - гибель жертв за счёт поедания их хищниками с учётом насыщения хищников; член Sx2 – рост численности хищников; член Sjx22x1–1– гибель хищников за счёт конкуренции при недостатке пищи (то есть, жертв).

При выводе уравнения (10.12) предполагалось, что жертвы достаточно редки. Причем j - количество жертв, необходимых для поддержания жизни одного хищника. Таким образом, популяция из x1 жертв может поддерживать не более чем x1/j хищников. Модель построена так, что количество хищников не превышает критическую величину x1/j.

Численные исследования математической модели показали, что она имеет устойчивый предельный цикл - аттрактор, представленный на рисунке.

Если в предыдущем примере случайные флуктуации приводили систему к путешествию между орбитами, то в этом примере, каковы бы ни были малые случайные флуктуации, система продолжает свое движение по предельному циклу. Взаимодействие видов вышло на автоколебательный режим, амплитуду и период которого не могут изменить случайные флуктуации.