Предельные циклы в нелинейных системах
  6. Колебания в моделях взаимодействия биологических видов по типу “хищник–жертва
6.1 Модель Лотки-Вольтерра

Модель Лотки-Вольтерра имеет вид (х1 - жертва, х2 - хищник):

=(а - bx2)x1, = (-с + dx1)x2, (10.8)

где член ах1 характеризует естественный прирост жертв; член bx2х1 - гибель жертв за счёт взаимодействия с хищником; член 2х1 – прирост хищников за счёт поедания жертв; член сх2 - гибель хищников при нехватке пищи (то есть, жертв).

Система (10.8) имеет две неподвижные точки (два стационарных состояния взаимодействия видов):

(10.9)

Исследуем их устойчивость. Проведём линеаризацию системы уравнений (10.8). Коэффициенты матрицы А имеют вид:

 

Неподвижная точка 1

Неподвижная точка 2

a

0

0

- cb/d

0

ad/b

- c

0

Построим характеристический многочлен для каждого стационарного состояния:

Неподвижная точка 1 Неподвижная точка 2
Корни характеристических уравнений будут иметь вид:

Неподвижная точка 1 Неподвижная точка 2
l1 = а > 0, l2 = -c < 0;   (10.10)

Таким образом, первая неподвижная точка линеаризованной системы является седлом, вторая центром. Следовательно, первое стационарное состояние взаимодействия видов является седлом. Что касается типа второго стационарного состояния, то этот вопрос требует отдельного рассмотрения, так как по теореме о линеаризации точка “центр” является исключением при переносе результатов с исследования линеаризированной системы на исходную нелинейную систему. Требуются дополнительные расчёты исследуемой системы уравнений (10.8) с использованием численных методов.


Расчёты показали, что и в исходной нелинейной системе (10.8) первое стационарное состояние (10.10) является центром. Фазовые траектории в окрестности стационарного состояния являются замкнутыми линиями, каждая из которых соответствует определённым  начальным  условиям. Фазовый портрет системы (10.8) представлен на рисунке. Таким образом, на практике реализуется второе стационарное состояние. Причём, если возникнут случайные флуктуации, то они вызовут постоянное упорядоченное движение между фазовыми траекториями (орбитами центра).