Предельные циклы в нелинейных системах
  5. Понятие структурной устойчивости колебаний

    Колебания в двумерном фазовом пространстве могут быть вызваны наличием в системе либо центра, либо устойчивого предельного цикла.

    Неподвижная точка центр, представляющая собой бесконечное множество концентрических замкнутых траекторий, является структурно неустойчивой; то есть, случайные флуктуации вызывают постоянное движение между орбитами центра и, следовательно, амплитуды колебаний. Причём, при усилении флуктуаций неподвижная точка центр вообще может быть разрушена. Способность к лёгкому разрушению является характерным свойством центров, и хотя они нейтрально устойчивы, однако структурно неустойчивы.

    Другая причина незатухающих колебаний в нелинейных системах - это наличие предельных циклов на их фазовых портретах. Предельные циклы являются структурно устойчивыми и, следовательно, представляют собой более постоянную, характерную черту фазового портрета: они не имеют тенденции исчезать при относительно малых возмущениях. Модели, нечувствительные к малым возмущениям, называются грубыми. Поскольку большинство моделей являются идеализациями, в которых внимание сосредоточено только на некоторых основных переменных и соотношениях между ними, такой вид устойчивости чрезвычайно важен.

    В качестве примера рассмотрим 2 модели, описывающие взаимодействие двух биологических видов по типу “хищник–жертва”: модель Лотки-Вольтерра, которая не является грубой, и модель Холлинга-Тэннера, в которой возникают структурно устойчивые колебания численности популяций (то есть, происходит явление самоорганизации).