Предельные циклы в нелинейных системах
  4. Пример на использование теоремы Пуанкарэ и нахождение предельного цикла
4.3. Определение области, в которой предельного цикла нет

    Если ввести полярные координаты (х1 = cosj, x2 = sinj), то система (10.2) примет вид:
= (1 - r2), =1 (10.6)

    Ясно, что (t) = 0, j = t - решение, соответствующее неподвижной точке, которая является неустойчивым фокусом . (t) = 1, j = t - решение, задающее замкнутую траекторию. Это окружность
(10.7)
пробегаемая против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью = 1.

    Для 0 < r < 1 величина положительна, и траектории в этой области - раскручивающиеся спирали, приближающиеся к r = 1. При  r > 1 имеем < 0, и траектории накручиваются при возрастании t на окружность радиуса 1.

    Таким образом, найденный предельный цикл является устойчивым, он находится вне круга с радиусом
 и окружает начало координат.